Что делать?

Для начала, попробуйте им намекнуть, что они делали в вашей переписке. Не поймут — смело «обижайтесь» сами. Такую клинику только их же клином вышибать можно.

1. Никогда не обсуждайте никого за спиной, ничем хорошим это не обернётся.
2. Никогда не читайе личную корреспонденцию. Во-первых: это неприлично, во-вторых: там можно найти гадости про себя.

Сообщите напрямую своим коллегам, что эта информация конфендициальна и подлежит уничтожению со всех источников, хранящих её. С электронными носителями то проблем не будет, но вот с ментальными источниками… Если не хотят лишаться памяти, пусть не лезут с глупыми вопросами.
В конце-то концов, эта информация предназначалась не им. Пусть обижаются на себя.

Плюнь им в лицо — не ошибешься. Верх наглости: залезть в чужую личную переписку и не только не скрывать это, но еще и требовать извинений.

Мда, похоже слова то, сказанные в переписке, были справедливыми, раз они такое себе позволяют. А коли так, сдалась такая работа? Я бы ушла. Сказав на прощание всё что думаю. Ну уж точно не извиняться, за что? Вы же не клиентам, например, плохого про них наговорили? Короче, вы ни в чём не виноваты. Не унижайтесь более.